(dành cho người quan tâm đến Toán, Vật lý và Triết học)
...Grigori Perelman, sinh năm 1966-đứng thứ 9 trong danh sách 100 thiên tài đang sống giữa chúng ta (bầu năm 2007 khi ông còn chưa được giải Clay vì lời giải bài toán “thiên niên kỷ” của Poincare , trong khi đó đứng đầu danh sách là Hoffmann, cha đẻ của “thuốc gây ảo giác LSD”). Tuy vậy theo tôi biết thì cộng đồng khoa học đã từ lâu công nhận ông là nhà khoa học thông thái nhất hành tinh, tôi tuy ngoại đạo nhưng cũng rất tò mò muốn biết con người này thực ra là ai, ngoài những thông tin “lá cải” về việc ông từ chối nhận giải thưởng 1 triệu đôla và ở ẩn đối với tất cả xã hội và sống nghèo đói. Đơn giản khi một con người đã tuyệt đỉnh thông minh, thì ngoài việc “lập dị” ra thì mỗi hành động của ông ta phải có cả một câu chuyện dài phía sau, chứ không phải kiểu “nổ” bất thình lình...Và qua cuộc đời ông, tôi thấy được một câu chuyện rất hay về các nhà toán học thời hiện đại, cũng như toán học cần thiết để làm gì, từ những cuộc tranh cãi “32 con gà” ngày nay cho đến thành tựu của Ngô Bảo Châu đều có ý nghĩa cao siêu hơn ta hằng nghĩ!
Đầu tiên phải nói thật, gây tò mò nhất đối với tôi là việc ngài Perelman là “chuyên gia từ chối các giải thưởng danh giá”. Hãy xem ông đã từ chối gì:
-1996 từ chối giải của Hiệp hội toán học châu Âu (EMC) dành cho các nhà toán học trẻ-giải thưởng này như một bảo đảm cho người lĩnh giải sẽ được nhận vào làm việc tại các trường đại học danh giá nhất của Âu, Mỹ và đảm bảo cuộc sông vật chất dài lâu.
-2006 ông từ chối nhận giải Fields danh giá -một "Nobel trong toán học" (lần kế tiếp Ngô Bảo Châu đã giành giải này cùng 3 nhà toán học khác tại Ấn Độ, 2010).
-2010 ông từ chối nhận giải thưởng của Viện toán học Clay với số tiền 1 triệu đô la do giải được 1 trong 7 bài toán “thiên niên kỷ”-đó là bài toán Poincare từ 1904 và 98 năm sau loài người mới có lời giải! 6 bài toán kia vẫn còn chờ đợi...
-2011 ông từ chối trở thành viện sỹ Viện hàn lâm khoa học Nga. Tuy chỉ là danh hiệu trong nước, nhưng về giá trị vật chất còn lớn hơn cả những lần “từ chối” trước kia...
Vì sao như vây? Sinh ra ở Leningrad (CCCP), cậu bé Do Thái Perelman học ở một trường bình thường ở ngoại ô cho đến năm lớp 9, chỉ sinh hoạt ở nhóm học sinh giỏi toán tại Cung thiếu nhi thành phố. Năm 1982 cậu học sinh 15 tuổi này đoạt giải nhất với số điểm tuyệt đối ở cuộc thi Olimpic Toán quốc tế tại Hungary (khá giống Ngô Bảo Châu, trẻ hơn mấy tháng). Sau đấy cậu mới được vào học trường chuyên toán-lý 239 nổi tiếng của Leningrad. Vào đại học, vì được chọn trường, cậu suýt chọn trường nhạc (có chơi violin nhưng không cơ bản) nhưng sau nghe lời mẹ, lại đi vào khoa toán. Sau khi bảo vệ luận án tiến sỹ toán, cậu sang Mỹ đầu những năm 90 để làm việc tại một số trường đại học. Ngay lúc còn rất trẻ này cậu đã rất khác người: sống rất khắc khổ, thường xuyên chỉ ăn bánh mỳ, sữa và phomat. Ngay từ lúc này cậu đã bắt tay vào giải bài toán thiên niên kỷ của Poincare. Các phát hiện quan trọng lần lượt ra đời, ví dụ như một cách chứng minh ngoạn mục của Perelman cho “Lý thuyết về tâm hồn” (1994, hình học vi phân).
Lần “từ chối” đầu tiên năm 1996, Perelman không chịu nhận giải EMC cho các nhà toán học trẻ xuất sắc đồng nghĩa với chìa khóa vàng mở cánh cửa vào những vị trí làm việc danh giá và nhiều bổng lộc, nhưng đối với chàng trai 30 tuổi này “nó không quan trọng”! Ông bắt đầu cuộc đấu tranh không khoan nhượng nhưng tất nhiên không hề cân sức với lề thói quan liêu, giả tạo của làng toán học thế giới. Ví dụ sau này khi đi xin việc ở đại học Stanford bắt buộc phải nộp lý lịch, ông kiên quyết từ chối đưa C/v. Ông bảo: “Nếu họ biết các công trình của tôi, thì họ cần gì C/v của tôi? Còn nếu họ cần C/v của tôi, nghĩa là họ không đọc các công trình của tôi...”-thật tự tin, một tuyên bố của chàng trai hơn 30 tuổi!
 |
| Năm 1993 |
 |
| Đi chợ xa... |
Năm 2002-2003 ông công bố 3 bài viết lập tức gây nên xáo động trong làng toán thế giới, ngay từ bài đầu tiên đã suy ra được rằng Perelman đã có lời giải bài toán thiên niên kỷ Poincare! Cách ông công bố cũng chả giống ai: khác với truyền thống là phải gửi đến tòa soạn các tạp chí toán học uy tín trên thế giới, thì ông đưa lên internet cho tất cả mọi người khảo nghiệm! Bài toán có đầu đề chỉ hai chục chữ này đòi hỏi cách giải siêu phức tạp, và Perelman phải kết hợp cả những hiểu biết rất sâu sắc về vật lý lý thuyết của mình mới đi đến thành công.
Nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới công bố những công trinhg nghiên cứu về lời giải của Perelman, và đăng trên các tạp chí uy tín,do đó danh tiếng của Perelman được càng nhiều người biết đến. Trên đường chứng minh định lý đó Perelman đã phát triển tiếp nghiên cứu của nhà toán học Mỹ Richard Hamilton, người đã phải dừng bước giữ chừng vì không đủ các công cụ toán học. Lạ một cái, Hamilton lại không tin là Perelman đã giải được bài toán Poincare, do đó đã đề nghị “ông trùm toán học Trung Quốc” Khâu Thành Đồng nghiên cứu tiếp. Thế là họ Khâu cùng hai đệ tử của mình là Tào Hoài Đông và Chu Hy Bình tuyên bố với toàn thế giới rằng chính họ mới đưa ra lời giải trọn vẹn của giả thuyết Poincare, và “công lao của Perelman nếu có thì cũng nhiều nhất là 20% mà thôi!”.
Thế là nhiều trường đại học lớn lập những nhóm chuyên tập trung để phân tích về lời giải bài toán thiên niên kỷ, trong đó tất nhiên có cả Viện toán Clay. Trong thời gian hàng chục triệu đô la được bỏ ra để tìm chủ nhân của cách giải bài toán hóc hiểm này, thì Perelman như ông đã kể lại, thi thoảng kiếm chút tiền còm qua việc được mời nói chuyện ở nước ngoài về chính cách giải bài toán của mình. Sự thật khoa học không thể bôi đen, nhất là trong thời đại internet, và đến 2006 thì tất cả, trong đó có cả Richard Hamilton đi đến kết luận, chính PERELMAN MỘT MÌNH đã giải quyết vấn đề trọn vẹn! “Bang hội toán gốc Trung Quốc” đành xấu hổ rút lại lời tuyên bố của mình, tuy vậy vẫn cay cú dọa kiện những ai đã vạch mặt họ, kể cả Viện toán Clay.
Trong thời gian này, Perelman một mặt không mấy khi quan hệ với xã hội bên ngoài, mặt khác khá tích cực hợp tác với các đồng nghiệp quốc tế để làm sáng tỏ vấn đề, tất nhiên là qua...internet. Những cuộc chiến ngoài toán học, theo ông là quá vô bổ và thấp hèn, khiến ông mệt mỏi và từ 2005 tự ra khỏi trường đại học, ông thực tế đã chính thức xa rời giới khoa học. Khi cả nước nhận tin ông sẽ được giải Fields 2006 lập tức ông nổi tiếng kinh khủng, xung quanh căn hộ của mẹ con ông bao giờ cũng có bọn “kền kền” báo chí lấp ló, và ôg không còn dễ đi bộ mua thực phẩm như trước nữa. Tuy vậy ông kiên quyết không hề thay đổi: ăn mặc lôi thôi, không cắt tóc cạo râu, chẳng cắt móng tay và chưa bao giờ có vợ con. Môn thể thao yêu thích là bóng bàn và cờ vua lâu lắm rồi chẳng chơi cùng ai, chỉ còn âm nhạc ông chơi trên violin chứng tỏ sự tồn tại của ông trong xã hội...
Tình trạng Perelman có thể từ chối giải Fields là “cú sốc” cho giới lãnh đạo trong làng toán. Chính chủ tịch Hội đồng toán học thế giới John Ball đến tận nơi và 2 ngày trời tìm cách đề xuất với ông các phương án khác nhau, kể cả “nhận giải mà không cần đến”. Tuy vậy Perelman vẫn khăng khăng không đến, ông “giận” giới toán học đã quá quan liêu và kẻ cả, làm ông và bao người khác tốn công tốn sức trong cuộc tranh chấp với “phe Tàu”. Ông giải thích: “Những người lập dị (như ông) không hề vi phạm chuẩn mực đạo đức” và “tôi dừng lại, để cho mọi người thấy tôi không phải là vật nuôi trong vườn bách thú”. Không nhận giải-đó là chính kiến của ông! Đối với người ngoại đạo như chúng ta, ông đơn giản là người “từ chối bắt tay Nhà vua Tây Ban Nha (Fields 2006 được trao tại Tây Ban Nha)-nhưng giới khoa học thì đều hiểu thông điệp của Perelman. Chẳng đi nhận giải, ông đã làm toán học trở nên hấp dẫn hơn bao giờ hết!
 |
| Ông biết nhiều và rộng hơn rất nhiều so với các nhà toán học khác. Ông tự coi mình là nhà triết học! |
Ông vẫn sống như một ẩn sỹ, chỉ đôi lần ông trả lời phỏng vấn báo chí Nga, nhưng sau đó dừng hẳn, vì “không tin tưởng”. Người ta quay được một phim ngắn về cuộc sống ngày thường của ông bằng cách xông cả đoàn quay phim vào nhà ông, đẩy bật bà mẹ già ra và quay ông đang vô cùng ngơ ngác. Sau đó ông chỉ đồng ý quay một phim tài liệu ngắn nữa của đài truyền hình Nhật NTK, còn lại người ta biết về ông càng ngày càng ít đi!
 |
| Như đạo của người Do thái đòi hỏi, ông yêu và kính trọng mẹ hơn ai hết! |
Khi công trạng của ông đã được làm rõ, ngay cả Viện toán Clay (đơn vị xét và trao giải) cũng như cộng đồng quốc tế kêu gọi ông công bố công trình của mình lại trên tạp chí toán học uy tín bất kỳ nào, và trong vòng 2 năm không ai phản bác được, thì sẽ đủ tiêu chuẩn xét trao giải cho tác giả. Thế nhưng không ai thuyết phục được ông làm cái điều tưởng chừng đơn giản và hiển nhiên đó –tạp chí toán học uy tín đối với giới toán học như một dấu “OTK” về chất lượng, nhưng riêng Perelman kiên quyết không cần đến cái sự OTK đấy...
Cuối cùng Viện toán Clay chịu thua, công nhận ông là người xứng đáng được trao giải 1 triệu $ vào năm 2010, khi mà theo một số nguồn tin thì Perelman đã tiêu hết tiền tích cóp thời còn “làm toán”, ông rất khát tiền. Ông suy nghĩ 3 tháng trời, rồi sau đó đưa ra câu trả lời làm tất cả mọi người phải kinh ngạc: “Tôi có rất nhiều nguyên nhân để đi nhận hay không đi nhận giải thưởng này, do đó tôi đã cân nhắc khá lâu, nhưng tôi quyết định không nhận nó. Nếu nói thật ngắn gọn về nguyên nhân, thì đó là sự không đồng ý với cách điều hành của giới toán học quốc tế. Tôi không thích các quyết định của họ, tôi thấy không công bằng. Tôi đánh giá đóng góp của ngài Richard Hamilton hoàn toàn không thua kém đóng góp của tôi trong việc giải bài toán”. Đây là một ví dụ tuyệt vời về tinh thần hiệp sỹ trong khoa học: ông đề cao chính Hamilton, người đã không tin tưởng ở ông, và đã cùng với nhà toán học Trung Quốc Khâu Thành Đồng cứ luẩn quẩn mãi ở cái lời giải và việc đó đã làm khổ ông mấy năm về trước!
Từ chối nhận 1 triệu $ (hơn một năm sau các nhà tổ chức mới quyết định dùng số tiền này để hỗ trợ các nhà toán học trẻ) Perelman nổi tiếng vô cùng, biết bao người tìm cách hỏi ông tại sao lại không nhận tiền khi bây giờ ông nghèo rồi, thì chỉ một lần ông trả lời: “Tôi cái gì cũng có đầy đủ”. Câu chuyện cũng kết thúc có hậu cho Richard Hamilton: năm 2011 ông này cùng với một người nữa được nhận giải “Nobel châu Á”-giải Shaw và 1 triệu $ cho những thành tự toán học, mà trên cơ sở đó Perelman đã giải quyết thành công bài toán thiên niên kỷ. Hamilton đã đi nhận giải...
Việc ông từ chối làm Viện sỹ viện hàn lâm khoa học Nga năm 2011 khá dễ hiểu, vì sau này ông xin visa 10 năm đi Thụy Điển. Nhưng để hiểu ông và bài toán của ông hơn, tôi xin tóm tắt một trong rất ít các cuộc phỏng vấn của ông-ngay cuộc phỏng vấn này (với một nhà làm phim Israel-qua quan hệ Do Thái của mẹ ông giới thiệu) đến nay cũng là đề tài tranh luận, rằng có nó thật không hay là bịa nốt. Những ý chính ông đã nói ra:
-thời niên thiếu làm toán đối với ông như môn thể dục cho trí não. Hồi đó chỉ có bài khó, bài dễ chứ chưa gặp bài nào không giải được. Bài toán ông thấy khó nhất hồi đó do ông tự đặt ra: Chúa phải đi với vận tốc bao nhiêu mới có thể lướt trên mặt nước mà không chìm, đúng như trong Kinh thánh. Ông giải với những khái niệm về tô-pô học- “tôi thích tô-pô vì nhiều ứng dụng thực tế của môn học đó! Giải nhất toán quốc tế của tôi chỉ có rất ít ý nghĩa”.
-bất kỳ một lý thuyết toán học đúng đắn nào đều sẽ tìm ra áp dụng thực tế của nó, ít ra là Perelman tin như vậy và từ trước tới nay đều thấy như vậy! Ví dụ tiêu biểu: George Bul muốn định đề hóa triết học, cuối cùng pháp mình ra lý thuyết hàm số Bul, trên cơ sở đó con người mới tạo ra được máy tính, tàu vũ trụ...
-Định lý Poincare có ý nghĩa thực tiễn vô cùng to lớn. Nó giải thích cho nhiều quá trình trong việc hình thành vũ trụ, và sắp tới sẽ rất quan trọng trong công nghệ nano.
-những phát mình mới đây trong khoa học nano đều vớ vẩn hết, cũng như nhiều hình dung sai lầm về việc hình thành vũ trụ. Vũ trụ xuất hiện ban đầu từ một điểm vô cùng nhỏ, sau đó là các khoảng không xuất hiện để vũ trụ to ra nhanh chóng. Định lý Poincare chính là “Công thức của vũ trụ”-dựa vào đó ta có thể có cách thu vũ trụ lại thành một điểm ban đầu. Tôi chính là người biết điều khiển các khoảng không đó!
Bình luận thêm của tác giả: nghe thì có vẻ là “học thuyết âm mưu” nhưng thực sự những hiểu biết siêu đẳng của Perelman có nguy cơ đe dọa loài người và vũ trụ. Không phải ngẫu nhiên mà tình báo Nga cũng như nhiều nước khác không thể rời mắt khỏi ông. Và Perelman-con người với trí tuệ xuất chúng và hoàn toàn tỉnh táo này-phải biết làm gì, nói gì, hành xử ra sao để ít nhất là bảo vệ được bản thân và bảo vệ được nhân loại. Có cần thiết để chúng ta điều khiển được vũ trụ không, nếu ngay một trái đất này mà chúng ta còn làm cho bung bét hết cả? Đừng tin tất cả những gì ông tuyên bố, mặc dù đúng là “tôi là con người điều khiển được vũ trụ, vậy tại sao tôi còn phải chạy theo 1 triệu đôla gì đấy để làm gì?”
P.S. Mới đây Stephen Hawking-nhà vật lý đương đại và là một trong những bộ óc sáng lạn nhất hành tinh đã tuyên bố :”các thí nghiệm với hạt Higgs có thể tiêu diệt không gian, thời gian!” và “bozon Higgs có thể dẫn đến việc phá tan chân không, làm cả vũ trụ chuyển sang trạng thái vật lý mới”
 |
| Stephen Hawking - Những tư tưởng lớn thường gặp nhau... |
- tác giả nhớ lại cuộc nói chuyện hầu như là duy nhất mấy năm trước của Perelman, ông đã nói về hiện tượng này trước đó lâu rồi. Chứng tỏ Perelman đã nói hoàn toàn tỉnh táo và nghiêm túc-ông biết “Công thức của vũ trụ”!
Còn chúng ta thì vẫn phân vân với 32 gà và 4 chuồng...
-----
Dưới đây là bài dịch dành cho các bạn thích tìm hiểu ngọn ngành sâu hơn về học thuật (cám ơn bạn Ngô Văn Minh):
Poincaré, Perelman, Khưu Thành Đồng và.....
Ức đoán Poincaré, bài toán của thiên niên kỉ (được Viện Clay treo giải 1 triệu đô la) đã được G. Perelman chứng minh. Nhưng nhà toán học 40 tuổi từ chối huy chương Fields, và có lẽ cả 1 triệu đô la. Câu chuyện không ngừng ở đây khi ông Khưu muốn tranh công...
Huy chương Fields 2006
Tháng 8 vừa qua, nhân Đại hội Thế giới họp tại Madrid, Liên hiệp Quốc tế các nhà Toán học (IMU) đã trao tặng huy chương Fields (về toán học, tương đương với giải Nobel), như thường lệ bốn năm một lần (1). Bốn người được giải : hai chuyên gia về tính xác suất Werner (Pháp) và Okoundov (Nga) – công trình của họ cũng liên quan tới những ngành khác – một nhà giải tích học và lí thuyết số người Úc gốc Hoa Terence Yao (Đào Triết Hiên), và một người Nga nữa, nhà tô pô hình học Grigori Perelman (viện Steklov, St-Petersburg). Phải nói là tiếng tăm của Perelman trên các media quốc tế đã vượt xa ba đồng nghiệp. Tên tuổi của ông đã ra khỏi lãnh vực khoa học thuần tuý, hiển hiện trên trang nhất của những nhật báo lớn. Đây là lần đầu tiên toán học trở thành đề tài sôi nổi của báo chí kể từ sự tích « anh hùng » của Andrew Wiles (chứng minh được định lí « lớn » của Fermat), cuối thế kỉ XX. Cũng phải nói là trong « vụ Perelman » này, có đầy đủ những tố chất « glamour » chẳng mấy khi tìm thấy nơi các nhà toán học và bộ môn khắc khổ của họ : đầu tiên là sự « hóc búa » phi thường của ức đoán Poincaré (bằng chứng là Viện Clay đã xếp nó trong « 7 bài toán của thiên niên kỉ », và treo thưởng 1 triệu đô la cho ai giải được một trong 7 bài ấy) ; sau đó là cá tính phi phàm của chính Perelman, sau khi chứng minh xong đã từ chối, không nhận huy chương Fields, và chắc cũng sẽ từ chối cả giải thưởng 1 triệu đô la ; thêm vào đó là cuộc tranh cãi hơi bị nhầu về « ai trước ai », « ai hơn ai » đang tác động tới sự « thanh cao » của toán học....
PERELMAN và POINCARE
Với ngoại hình như Rasputin, móng tay dài như đồ nho, phong độ như ẩn sĩ, Grigory (Grisha, đối với người thân – nhưng biết ai là « thân » ?) đúng là bức chân dung biếm hoạ của nhà bác học lập dị trong quan niệm của đại chúng. Nhưng ngay cả những người dị ứng với tác phong của Perelman cũng phải thừa nhận khía cạnh « trước sau như một » của ông : năm 1990, Perelman đã từ chối huy chương Nhà toán học trẻ của Châu Âu (Société européenne de mathématiques), bây giờ từ chối huy chương Fields (mặc dầu chủ tịch MIU đã đích thân bay sang St. Petersburg tìm cách thuyết phục), mai kia chắc sẽ từ chối giải Clay. Một người đàn ông bốn mươi tuổi vẫn còn ở với mẹ, sống với 100 đô một tháng, mà từ chối 1 triệu đô la, thì không thể chỉ là làm điệu. Trong lịch sử khoa học, hành xử như Perelman hầu như không có tiền lệ. Mặc dầu trong giới toán học, không thiếu những nhân vật kì dị, chẳng hạn như nhà hình học đại số Alexandre Grothendieck, đang ở đỉnh cao vinh quang, đã từ bỏ tất cả để đi chăn dê, nghe nói trên núi Pyrénées. Nhưng ngay cả Grothendieck, tuy không chịu sang Moskva năm 1966 để nhận huy chương Fields vì bất đồng chính trị, cũng không từ chối giải thưởng này. Trong một lãnh vực khác, trường hợp duy nhất còn ở trong kí ức là trường hợp Jean-Paul Sartre từ chối giải Nobel văn học.
Dù sao chăng nữa, cá tính của Perelman có thể không được nhất trí tán thưởng, song Perelman với tư cách nhà toán học thì không ai có thể phủ nhận : năm 1982, ở tuổi 16, đã được giải nhất trong cuộc thi Olympiad toán học với số điểm tuyệt đối (42/42) ; đỗ tiến sĩ vào cuối thập niên 1980, là người duy nhất trong cùng khoá, được tuyển mộ làm nghiên cứu viên ở Viện Steklov (tương đương với Viện quốc gia nghiên cứu khoa học CNRS của Pháp) ; trong những năm 1990, làm nghiên cứu « sau tiến sĩ » ở New York, được mấy trường, viện mời làm việc thường trực ở Hoa Kì, nhưng đều khước từ và trở về St. Petersburg. Từ đó, hầu như mất tăm mất tích, cho đến 2002-2003, Perelman đưa lên mạng internet ba bài viết ngắn. Chính ba bài viết trứ danh ấy, bốn năm sau, đã được tưởng thưởng vì « những đóng góp vào hình học, mang lại những hiểu biết cách mạng về cấu trúc hình học và giải tích của dòng chảy Ricci ».
Câu văn « bí hiểm » đó của Uỷ ban xét duyệt giải Fields (chúng tôi sẽ trở lại ở dưới) không hề đá động tới nhân vật « đầu tiên » của câu chuyện : Henri Poincaré (1854-1912) – đừng nhầm với anh em họ là Raymond Poincaré, thủ tướng – mà nhân thân hoàn toàn trái nghịch với G. Perelman. Đỉnh cao của khoa học đương đại, nhà toán học kiêm vật lí học, triết lí khoa học, được rất nhiều giải thưởng quốc tế, thành viên hay chủ tịch không biết bao nhiêu hiệp hội bác học, thành viên Viện hàn lâm khoa học Pháp, Henri Poincaré là hình ảnh tiêu biểu tốt đẹp nhất về sự thành đạt trí tuệ và xã hội mà giai cấp tư sản thế kỉ XIX có thể sản sinh. Ông cũng là nhà bác học « xuyên ngành » cuối cùng : là nhà triết học về phương pháp luận, ông là tác giả những công trình kinh điển về nền tảng phương pháp khoa học, về cơ cấu não trạng của quá trình khám phá ; là nhà vật lí, ông đã 12 lần được đề nghị giải Nobel, và ngày nay được coi là đồng tác giả của thuyết tương đối « thu hẹp » (2) ; với tư cách nhà toán học, bên cạnh David Hilbert, ông được coi là nhà toán học vĩ đại nhất, đồng thời là « bậc thầy phổ quát cuối cùng », bao trùm đại số học lẫn hình học, lí thuyết số và hình học. Chính ông, trong một công trình năm 1895, đã sáng lập ra một ngành mới của hình học mà ông đặt tên là « analysis situs », ngày nay gọi là tôpô học (topo, tiếng Hi Lạp, có nghĩa : nơi, không gian). Trong một trong những tác phẩm cuối cùng (viết năm 1904), ông đã « nhân tiện » nêu câu hỏi (câu hỏi này sẽ được gọi là « ức đoán của Poincaré ») mà không đào sâu thêm vì « sợ nó dẫn chúng ta đi quá xa ». Nói theo ngôn ngữ toán học hiện đại dưới dạng tổng quát nhất, ức đoán Poincaré có thể phát biểu như sau : « Mọi đa tạp tô pô (không biên) n chiều, compac, liên thông đơn thuần, đều đồng phôi với mặt cầu n chiều ». Có thể nói, đối với các nhà tô pô học, mệnh đề ấy đã trở thành một thứ « Chén thiêng » (3), mục tiêu của không biết bao cuộc tìm kiếm, giống như định lí « lớn » của Fermat đối với các nhà số học trong suốt ba trăm năm trời. Không thể nào liệt kê được tên tuổi của tất cả các nhà toán học, trong đó có những tay cự phách, đã mắc « hội chứng Poincaré ». Giáo sư John Morgan, chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Columbia, thú nhận thoải mái : « Cuộc đời toán học của tôi đã bị ức đoán Poincaré chế ngự. Tôi tưởng sẽ không bao giờ được thấy nó được chứng minh. Tôi tưởng sẽ chẳng có ai tiếp cận được chứng minh ».
Trước khi đi xa hơn, không thể không giải thích đôi chút để độc giả « ngoại đạo » có một ý niệm về nội dung mệnh đề « ức đoán » quá bí hiểm nói trên. Như chúng tôi đã có dịp đề cập trên cột báo này (4), viết bài « phổ biến » về toán học là một việc làm nguy hiểm, bởi vì ngôn ngữ toán học hết sức chuẩn xác, chệch đi một chút có thể làm lệch ý nghĩa, thậm chí đảo ngược ý nghĩa, và điều này thường hay xảy ra khi người trình bày dùng những hình ảnh trực quan và ngôn ngữ thường ngày. Ý thức rõ điều đó, chúng ta hãy thử xem xét từng từ ngữ của ức đoán Poincaré :
Từ đầu bài đến đây, chúng tôi đã dùng mà không định nghĩa hai danh từ « hình học » và « tô pô học ». Theo trực quan, mọi người dễ chấp nhận định nghĩa hình học là bộ môn nghiên cứu các hình, dạng. Theo từ nguyên, chữ géométrie (hình học) trong tiếng Hi Lạp lại có nghĩa là đo đạc đất đai. Đối với các nhà toán học Cổ Hi Lạp, không có gì mâu thuẫn giữa hai khái niệm, bởi vì trong quan niệm của họ, khoa học là một thể thống nhất, nó phải vừa giải thích vừa làm chủ Thiên nhiên, nhà hình học và nhà trắc địa đều làm cùng một nghề. Còn thế nào là « nghiên cứu các hình, dạng » ? Hình dạng thì vô số, không thể nào kê khai cho xuể, mà có làm được cũng vô ích. Cho nên cách xử lí tự nhiên nhất là làm thế nào xếp loại theo những tiêu chuẩn nhất định, cũng như nhà thực vật học, nhà côn trùng học xếp cây cỏ, sâu bọ thành loại lớn, loại nhỏ, nhánh, họ... Toán học quan tâm tới cấu trúc, nên các nhà toán học xếp loại các đối tượng họ nghiên cứu bằng cái mà họ gọi là « quan hệ tương đương », tức là những quy tắc biến đổi một đối một mà vẫn giữ nguyên các cấu trúc (phép « đẳng cấu ») ; theo cách xếp loại như vậy, hai cá thể « đẳng cấu » có thể được đồng nhất hoá với nhau (đồng nhất hoá, chứ không đồng nhất, không « bình đẳng », nói rõ như vậy để trả lời những đồ đệ « dậy non » của Jean-Paul Sartre). Ta hãy lấy « analysis situs » của Poincaré làm ví dụ : các cơ cấu mà tô pô học nghiên cứu là những « không gian tô pô », nghĩa là những tập hợp trong đó người ta có thể định nghĩa khái niệm « lân cận », nói nôm na : thế nào là hai điểm « gần » nhau ; một phép đẳng cấu do đó là một phép biến đổi một đối một giữ nguyên được sự « gần nhau » ấy (hai điểm A và B « gần nhau » được biến thành hai điểm A’ và B’ cũng « gần nhau »). Phép đẳng cấu giữa hai không gian tô pô được gọi là phép « đồng phôi » (homéomorphisme), hay nôm na hơn, phép biến dạng liên tục (déformation continue). Cho nên người ta thường gọi tô pô học bằng cái tên nôm na gợi hình là « hình học cao su » : hai cái hình làm bằng màng cao su, thí dụ hình tròn và hình bầu dục, có thể biến hoá cái nọ thành cái kia bằng cách co kéo cái màng cao su mà không làm rách hay phải cắt nó. Có rất nhiều thí dụ dễ hiểu về không gian tô pô. Ai cũng biết những « không gian thực n chiều » mà kí hiệu là Rn : khi n=1 đó là đường thẳng, 2 chiều mặt phẳng (ở trường học, ai chẳng học trên đường thẳng, mỗi điểm được xác định bằng 1 hoành độ, trên mặt phẳng, mỗi điểm được xác định bằng 2 toạ độ), không gian R3 là không gian « quanh ta » mà cơ học Newton nghiên cứu, R4 là không – thời gian của thuyết tương đối (hẹp)... Hình dung ra không gian nhiều chiều cũng không có gì khó : chẳng cần đọc tiểu thuyết viễn tưởng, ta hãy xem sổ hộ tịch trong đó người ta kê khai tên họ, giới tính, tuổi, chiều cao, quốc tịch, tổng cộng là 5 tham số (được mã hoá thành số), mỗi cá nhân với « 5 toạ độ » ấy là một « điểm » trong không gian R5 ! Và để xếp loại các không gian tô pô (không phân biệt các không gian « đồng phôi »), người ta căn cứ vào những cái « bất biến », tức là những tính chất bất biến qua những phép đồng phôi. Để xếp loại côn trùng, các nhà động vật học đếm số chân, số cánh... Đối với các không gian Rn , tất nhiên nhà tô pô học nghĩ tới chiều kích của chúng, và đúng như vậy, một định lí nổi tiếng của Whitney (đầu thế kỉ XX) cho biết rằng hai không gian Rn và Rp đồng phôi với nhau nếu và chỉ nếu n=p. Định lí này dễ cảm nhận bằng trực quan, nhưng muốn chứng minh nó, phải có trình độ tối thiểu là MA đại học về toán, điều này cho thấy sự thâm sâu của những bài toán tô pô học. Một con số – chiều kích n – cũng đủ làm đặc trưng cho các không gian Rn, song sẽ quá ngây thơ nếu ta tưởng rằng đối với các không gian tô pô cũng đơn giản như vậy. Thực ra bài toán đặt ra quá tổng quát, chẳng cần nghiên cứu Sartre (làm sao mà hai cá nhân có thể « bình đằng », « bằng » nhau được ?) cũng có thể nhận thấy. Vì thế, các nhà tô pô học, theo chân Poincaré, sẽ khiêm tốn tự giới hạn trong « các đa tạp tô pô n chiều » mà đại khái ta có thể coi là các « hình » trong hình học đã nói ở trên. Một đa tạp n chiều như vậy là một không gian tô pô « đồng phôi cục bộ » (nghĩa là ở vùng lân cận của mỗi điểm ; chứ nếu « đồng phôi toàn bộ » thì chẳng còn gì để nói nữa) với không gian Rn. Xin lấy một ví dụ để bạn đọc có thể hình dung : Mặt Đất chúng ta đang sống trên đó « nằm trong » không gian (3 chiều) R3, nhưng ở cục bộ mỗi điểm trên địa cầu, nó đồng phôi với R2 (một mặt phẳng, tức là một đa tạp 2 chiều). Nói nôm na : đứng ở bất cứ nơi nào trên Mặt Đất, người quan sát cũng có cảm tưởng nó là mặt phẳng (chứ không phải mặt cầu). Nhưng ai chẳng biết rằng Mặt Đất không phải là mặt phẳng ! Magellan đã chứng minh điều đó khi ông đi một vòng quanh địa cầu. Đối với nhà tô pô học, hiển nhiên là mặt cầu không thể đồng phôi với mặt phẳng : mặt cầu là compac, mặt phẳng không. Tính compac rất khó giải thích bằng ngôn ngữ hàng ngày, song có thể nói thế này : một không gian tô pô nằm trong một không gian Rn, nếu nó compac thì tất nhiên nó « đóng kín, bị chặn » (hai từ này có thể hiểu theo nghĩa đời thường).
Hai kiểu bất biến vừa nói ở trên – chiều kích và tính compac – được coi là « sơ cấp » vì chúng liên quan tới khái niệm lân cận gắn liền với định nghĩa đa tạp. Một trong những đóng góp quan trọng của Henri Poincaré là đề ra một bất biến kiểu mới, là khái niệm « nhóm cơ bản », một khái niệm liên quan tới lí thuyết nhóm. Một đa tạp sẽ được gọi là « liên thông đơn thuần » nếu nhóm cơ bản chỉ vỏn vẹn có một phần tử. Để cảm nhận bằng trực giác khái niệm « liên thông đơn thuần », ta hãy hình dung một mặt cong trên đó ta vẽ một « đường vòng », một thứ « dây thòng lọng » : nếu ta có thể « rút dây », thắt nó nhỏ dần, cho đến khi nó nhỏ tí, thành một điểm mà sợi dây vẫn nằm hoàn toàn trên mặt cong, thì mặt cong có tính « liên thông đơn thuần ». Nói khác đi, một đa tạp liên thông đơn thuần nếu bất cứ đường vòng nào nằm trong đa tạp có thể được biến dạng liên tục thành một điểm. Ta hãy lấy vài ví dụ đa tạp 2 chiều nằm trong không gian 3 chiều R3 : mặt phẳng, mặt cầu rõ ràng là liên thông đơn thuần, ngược lại mặt xuyến (thí dụ nhưng cái săm bánh ô tô hay bánh xe đạp) không liên thông đơn thuần (dây thòng lọng buộc quanh cái săm, « xuyên qua lỗ ở giữa », không thể « thắt » nhỏ thành một điểm mà không cắt đứt cái săm). Như vậy là mặt phẳng, mặt cầu và mặt xuyến là 3 đa tạp không đồng phôi đôi một với nhau : mặt phẳng và mặt cầu vì tính compac, mặt cầu và mặt xuyến vì tính liên thông đơn thuần. Mấy thí dụ trực quan này cho ta hình dung cách đặt vấn đề của ức đoán Poincaré.
THURSTON, HAMILTON, PERELMAN và KHƯU (YAU)
Trước khi Perelman thượng đài, tình hình bài toán Poincaré là như thế nào ? Trường hợp 2 chiều đã được Riemann lí giải từ trước khi Poincaré sáng lập ra tô pô học (tất nhiên, do đó, Riemann dùng một ngôn ngữ khác). Từ Poincaré trở đi, bộ môn này đã phát triển tột bực, tích luỹ một khối lượng những khái niệm, định lí nhờ đó Stephen Smale đã chứng minh được ức đoán Poincaré cho tất cả các đa tạp chiều kích bằng 5 hay lớn hơn (huy chương Fields 1961), sau đó Michael Freedman thanh lí trường hợp chiều kích 4 – cũng lạ là trường hợp này phức tạp hơn về mặt kĩ thuật – (huy chương Fields 1982) (5). Còn trường hợp chiều kích 3 vẫn « trơ gan cùng tuế nguyệt », dường như ở cấp độ của vũ trụ vật lí (chúng ta nên nhớ vũ trụ Einstein là một đa tạp 4 chiều, tính compac của một đa tạp nằm trong vũ trụ này tuỳ thuộc vào tỉ trọng của vật chất chứa đựng trong đó), khó khăn không chỉ đơn thuần là những khó khăn toán học. Bao giờ cũng vậy, tình hình khai thông là nhờ có sự đột phá về quan niệm. Đầu tiên là do William Thurston (huy chương Fields 1982) đề ra một cách phân loại các đa tạp 3 chiều. Ở đây, ta lại gặp một tình huống thường xảy ra, bài toán hóc búa, vì quá đơn lẻ, được lồng vào một lí thuyết bao quát hơn, mở ra những viễn tượng mới. Thurston đề ra mộc ức đoán mới, gọi là ức đoán về sự hình học hoá, theo đó tổng cộng có 8 kiểu đa tạp 3 chiều ; một trong 8 kiểu đó là kiểu « mặt cầu » 3 chiều nói tới trong ức đoán Poincaré. Song tính chất bao quát của ức đoán Thurston dường như làm cho nó ở ngoài tầm với của những lí thuyết hiện tồn (cũng như ở ngoài tầm với của khả năng phổ biến khoa học : từ nay trở đi, độc giả cho phép chúng tôi dùng nhiều ngoặc kép). Một trong những lí thuyết đó là « tô pô học vi phân », nhờ đó người ta đặt thêm lên các đa tạp một cấu trúc nữa để có thể áp dụng các phương trình vi phân riêng. Chính trong phương hướng mới này mà trong thập niên 1980, Richard Hamilton đã tạo ra sự khai thông cuối cùng với khái niệm « dòng chảy Ricci », một phương trình tương tự như phương trình quen thuộc trong vật lí học : phương trình nhiệt của Laplace. Sự truyền dẫn của « dòng Ricci » trên đa tạp cho phép phát hiện những « điểm kì dị ». Chương trình Hamilton đề nghị thanh lí những điểm kì dị đó bằng « phẫu thuật », một kĩ thuật quen thuộc đối với giới tô pô học, song khó khăn lớn ở đây là không chắc gì cuộc phẫu thuật này lại không tạo ra những điểm kì dị mới, và cứ như thế, quá trình này trở thành liên hồi bất tận. Ngược lại, nếu cuộc phẫu thuật thành công, thì ức đoán Thurston được chứng minh, và đương nhiên, cả ức đoán Poincaré. Chính trong thời gian sang Mĩ nghiên cứu sau khi đỗ tiến sĩ mà Perelman đã được biết chương trình Hamilton, và đã đến gặp Hamilton để được ông giải thích tường tận. Hình như Perelman đã tự « coi như là môn đệ » của Hamilton, một điều rất hiếm, chứng tỏ Perelman khá mến mộ Hamilton. Thực ra, hình như ngay từ đầu « Grisha » đã chắc mẩm dòng chảy Ricci là cái chìa khoá, và ông không hề cải chính rằng mình trở lại St Petersburg là để tiến công vào chương trình Hamilton. Ông đã bỏ ra 8 năm trời, và công trình này làm ta liên tưởng tới cuộc chiến đấu đơn độc của Wiles để chứng minh định lí lớn của Fermat. Câu chuyện lẽ ra đến đây là kết thúc. Nhưng không, trước tiên là vì Perelman không chịu tôn trọng luật chơi. Bởi vì các mệnh đề toán học, một khi đã được chứng minh rồi, trở thành những chân lí tuyệt đối (trong khuôn khổ những tiên đề nhất định), cho nên bài chứng minh nhất thiết phải được các chuyên gia kiểm tra kĩ lưỡng rồi được công bố để bất cứ nhà toán học nào cũng có thể tìm đọc, và nếu muốn, thì kiểm tra lại. Ba bài viết mà Perelman đưa lên mạng internet không tuân thủ khuôn phép ấy : một mặt, Perelman không gửi cho một tạp chí để chúng được kiểm tra, thẩm định ; mặt khác, đó không phải là một bài chứng minh đầy đủ, mà chỉ là những phác thảo (tuy khá chi tiết) đưa ra các nguyên tắc và nét lớn, bỏ qua những khó khăn kĩ thuật đôi khi khá quan trọng. Không ai nghi ngờ rằng nếu Perelman chịu khó thì ông sẽ hoàn tất, nhưng phải bao nhiêu nỗ lực và thời gian ? Song ý nghĩa khoa học (và, khốn thay, tác động của media) quan trọng đến mức cộng đồng toán học lần này chấp nhận không làm đúng các thủ tục một cách nghiêm ngặt. Ngoài các xêmina và các nhóm làm việc thường vẫn được tổ chức như trong các trường hợp tương tợ (tại Princeton, Lyon...) để thảo luận về các kết quả của Perelman, đã có hai sáng kiến vượt ra khỏi thông lệ, độc lập với nhau, với những động cơ khác nhau, đã được tiến hành và đi tới kết luận tích cực. Một mặt là viện Clay rất muốn trao giải đầu tiên (quảng cáo mà) cho một « bài toán thiên niên kỉ », nên đã cử hai chuyên gia về tô pô học vi phân, là John Morgan (trường đại học Columbia, đã nói ở trên) và Gang Tian (Điền Cương, viện MIT) tập trung toàn phần thời gian vào việc thẩm định các bài viết của Perelman, và biên tập toàn bộ các phần chứng minh với đầy đủ chi tiết. Họ đã hoàn thành công việc và kết quả là một cuốn sách 473 trang sắp sửa được Viện Clay xuất bản. Mặt khác, sau 3 năm làm việc, hai nhà toán học Trung Quốc, Xiping Zhu (Chu Hi Bình) và Huaidong Cao (Tào Hoài Đông), dưới sự « huấn luyện » của nhà hình học Shing-Tung Yau (Khưu Thành Đồng, huy chương Fields 1982), vừa công bố trên tạp chí Asian Journal of Math (cũng phải nói rõ : do họ Khưu làm đồng chủ biên) một bài viết 318 trang để chứng minh ức đoán của Thurston, « dựa trên » những ý tưởng của Hamilton và Perelman (chữ của họ). Cần nói rõ, theo tập tục của giới toán học, một bài chứng minh chỉ được coi là « nguyên khôi » nếu nó được thực sự tìm ra lần đầu tiên, hoặc là nó lấp được một lỗ trống hoặc sửa lại một sai lầm thực sự của một bài chứng minh trước đó (trường hợp thứ nhì này đã xảy ra với bài chứng minh định lí Fermat của Wiles, có một lỗ trống đã được học trò của Wiles là Richard Taylor bổ khuyết, vì vậy định lí này từ nay mang tên chính thức là định lí Wiles-Taylor). Nhưng trong câu chuyện đang bàn, theo ý kiến của các nhà chuyên môn, bài viết của Tào và Chu hoàn toàn không thể xếp vào hai trường hợp nói trên. Cũng như cuốn sách của Morgan và Điền Cương, nó chỉ có thể được coi là một công trình soi sáng (công phu) công lao của Perelman. Tất cả chuyện này lẽ ra chỉ gây sóng gió trong chén trà của giới chuyên môn nếu như, phía Trung Quốc không làm ầm ĩ trên báo đài : đầu tháng 6.2006, hai tháng trước Đại hội Madrid, Khưu Thành Đồng đã tổ chức họp báo để nói về việc chứng ming ức đoán Poincaré tại Viện toán học Bắc Kinh. Ông viện trưởng họ Khưu không ngần ngại phân phát công lao như sau : 50% về phần Hamilton, 25% về phần « người Nga Perelman », 30% về người Hoa – một con toán cộng đơn giản cho thấy nhà hình học họ Khưu chắc không phải là nhà lí thuyết số. Đến cuối tháng 6, ông Khưu lại tổ chức một « sô » hội nghị vật lí học ở Bắc Kinh, với sự hỗ trợ của nhà cầm quyền Trung Quốc và sự tham gia của những đại gia như Stephen Hawking (« nhà vật lí thiên văn ngồi xe lăn »), để trình bày trong một phiên họp khoáng đại một báo cáo về... ức đoán Poincaré, công lao của hai môn đệ họ Tào và họ Chu, và nói đây là một thành tựu vĩ đại của học thuật Trung Quốc. Phải nói là họ Khưu, sinh trưởng hầu như ở Hồng Kông (bố mẹ ông đã chạy trốn Giải phóng quân Trung Hoa năm 1949, khi Khưu mới 5 tháng), làm việc ở Hoa Kì, sau khi được giải Fields năm 1982 đã trở thành một ông quan đại thần của nền khoa học Trung Quốc, đầu óc « đại hán » cũng chẳng thua ai. Giới toán học khó chấp nhận cách hành xử thiếu đạo đức khoa học như vậy. Philip Griffiths, nhà hình học kiệt xuất, người đã giúp Khưu rất nhiều trên đường công danh, đã phải lên tiếng : « Chính trị, quyền lực và những trò ma giáo không có chỗ đứng chính đáng trong cộng đồng chúng ta, chúng đe doạ sự toàn vẹn tinh thần của toán học ». Khi quyết định trao giải cho Perelman mặc dầu biết rằng Perelman từ chối, có lẽ Uỷ ban Fields cũng không muốn nói gì hơn.
Đỗ Thống
(Kiến văn dịch từ nguyên tác tiếng Pháp)
Nguồn: Facebook Nam Nguyen, https://www.facebook.com/namhhn/posts/745448165517123
2014-09-09
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét